Logika matematyczna to gałąź logiki i matematyki, która obejmuje matematyczne badanie logiki i zastosowanie tego badania do innych dziedzin poza matematyką. Logika matematyczna jest ściśle związana z informatyką i logiką filozoficzną, a głównymi tematami są ekspresyjna siła logiki formalnej i dedukcyjna moc formalnych systemów dowodowych. Logika matematyczna jest często podzielona na gałęzie od teorii mnogości, teorii modeli, teorii rekurencji, teorii dowodów i matematyki konstruktywnej. Te pola mają te same podstawowe wyniki logiczne.
Komunikat
W logice matematycznej nauczymy się określać wartość instrukcji. Samo stwierdzenie jest zdaniem, które z pewnością ma prawdziwą wartość lub pewną wartość, która jest fałszywa, ale nie obie.
Oświadczenie zamknięte i otwarte
Oświadczenia są następnie podzielone na dwa typy, oświadczenie zamknięte (zdanie zamknięte) i instrukcja otwarta (zdanie otwarte). Oświadczenie zamknięte to stwierdzenie, którego wartość prawdziwa jest pewna, natomiast stwierdzenie otwarte to stwierdzenie, którego prawdziwość jest niepewna.
Przykłady wypowiedzi:
- 9 to liczba nieparzysta >> to stwierdzenie jest prawdziwe
- Dżakarta to stolica Indii >> to stwierdzenie jest fałszywe
W logice matematycznej zdania są reprezentowane przez litery p, q lub r.
Zdanie otwarte to zdanie matematyczne, które nie ma wartości prawdziwej. To zdanie zawsze zawiera zmienne.
Przykłady zdań otwartych:
- A jest znane jako miasto deszczu
- Atha nie chodzi do szkoły z powodu choroby
W przeciwieństwie do zdań zamkniętych, w których można ustalić wartość prawdziwości, zdania otwarte, prawdziwe i fałszywe, są nadal wątpliwe. Dlatego nie można powiedzieć, że zdanie to jest stwierdzeniem.
Zdanie otwarte można przekształcić w oświadczenie, jeśli zmienne w zdaniu zostaną zastąpione wartością, tak aby zdanie miało wartość prawdziwości.
Przykład:
Znane jako miasto deszczu to zdanie otwarte, a tymczasem
Bogor jest znane jako miasto deszczu
Negacja
Po zrozumieniu, czym jest zdanie i czym jest zdanie otwarte, następnym krokiem jest omówienie negacji.
Negacja lub zwana także zaprzeczeniem / zaprzeczeniem jest stwierdzeniem, które zaprzecza temu, co zostało dane. Pamięć instrukcji można utworzyć, dodając „To nieprawda, że ...” przed stwierdzeniem, które zostało odrzucone. Jest to oznaczone przez ~.
Powiedzmy, że p jest prawdą, a następnie ~ p jest fałszem. I odwrotnie, jeśli p jest fałszywe, to ~ p jest prawdziwe.
Przykład negacji wypowiedzi:
- Dżakarta to stolica Malezji
Dżakarta nie jest stolicą Malezji
- 9 to liczba nieparzysta
9 nie jest liczbą nieparzystą
Instrukcje złożone
Następnie instrukcja jest podzielona na instrukcje złożone, które w tym przypadku są podzielone na kilka typów:
- Spójnik
- Dysjunkcja
- Implikacje
- Podwójne uproszczenie
1. Koniunkcje
Spójnik, który jest oznaczony przez (Ʌ) jest stwierdzeniem majemauk z łącznikiem „i”. Będzie to prawda, jeśli zmienne są prawdziwe, a fałsz, jeśli jedna ze zmiennych jest fałszywa.
Przykład:
p: Dżakarta jest stolicą świata (stwierdzenie z prawdziwą wartością)
p: Dżakarta to miasto metropolitalne (stwierdzenie z prawdziwą wartością)
p ^ q: Dżakarta jest stolicą świata i metropolią (stwierdzenie z prawdziwymi wartościami)
2. Dysjunkcja
Dysjunkcja, który jest oznaczony przez (V) jest instrukcją złożoną utworzoną przez połączenie dwóch pojedynczych instrukcji przy użyciu spójnika „lub”. Rozłączenie jest prawdziwe, jeśli jedno ze stwierdzeń jest prawdziwe, a fałszywe, jeśli oba są fałszywe.
Przykład:
p: Dżakarta jest stolicą świata (stwierdzenie z prawdziwą wartością)
p: Dżakarta to miasto studentów (stwierdzenie z fałszywą wartością)
pVq: Dżakarta jest stolicą świata lub miastem studenckim (stwierdzenie z prawdziwą wartością)
3. Implikacje
Implikacje to dwa pytania p i q, które są wyrażone w formie zdania „jeśli p to q”. Jest to oznaczone przez p -> q.
Przykład:
p: Atha pilnie się uczy (stwierdzenie z prawdziwą wartością)
P: Ata zdany z doskonałym wynikiem (stwierdzenie prawdziwej wartości)
p-> q: Jeśli Atha pilnie się uczy, wtedy Atha zda z doskonałym wynikiem (stwierdzenie z prawdziwą wartością)
4. Biimplikacje
Podwójne uproszczenie jest wyrażeniem złożonym, które jest wyrażone w formie zdania „... wtedy i tylko wtedy, gdy”. Jest to oznaczone przez p q, przeczytaj "p wtedy i tylko wtedy, gdy q".
Przykład:
p: 1 + 1 = 2 (stwierdzenie jest prawdziwe)
q: 2 to liczba nieparzysta (fałszywe stwierdzenie)
pq: 1 + 1 = 2 wtedy i tylko wtedy, gdy 2 jest liczbą nieparzystą (stwierdzenie wartości fałszywej)
