Co to jest indukcja matematyczna?

Matematyka dostaje piętno przerażające dla uczniów, chociaż im więcej będziesz uczyć się i ćwiczyć matematykę, tym więcej będzie to przyjemne i przyjemne. Dobrze, teraz zaprosimy Cię, aby dowiedzieć się więcej o indukcji matematycznej. Co to jest indukcja matematyczna i do czego służy?

Sama indukcja matematyczna może być interpretowana jako metoda dowodzenia w matematyce. Służy do udowodnienia specjalnych stwierdzeń zawierających liczby naturalne. Dowód przy użyciu tej metody prowadzi do ogólnych wniosków.

Wprowadzenie do indukcji matematycznej

Dowodząc za pomocą indukcji matematycznej, można wyciągnąć ogólne wnioski. Istnieją dwa rodzaje rozumowania stosowane do wyciągania wniosków, a mianowicie rozumowanie dedukcyjne i rozumowanie indukcyjne.

• Rozumowanie dedukcyjne to rozumowanie, które zaczyna się od stwierdzeń ogólnych do stwierdzeń szczegółowych. Podejście to nazywa się podejściem „ogólno-specyficznym”, ponieważ rozumowanie zaczyna się od rzeczy ogólnej, a następnie kończy się na rzeczach konkretnych. Przykład; wszystkie jabłka są owocami, wszystkie owoce rosną na drzewach, więc wszystkie jabłka rosną na drzewach.
• Rozumowanie indukcyjne to rozumowanie, które zaczyna się od stwierdzeń szczegółowych do stwierdzeń ogólnych. Podejście to nazywane jest podejściem „ogólno-specyficznym”, ponieważ stwierdzenia składają się z określonych punktów prowadzących do ogólnie przyjętych wniosków. Przykład; Pasażer autobusu zauważa, że ​​za każdym razem, gdy kierowca autobusu naciśnie pedał hamulca, wszyscy pasażerowie autobusu zostaną popchnięci do przodu.

(Przeczytaj także: Transformacja w matematyce, jak co?)

Ponadto metodę indukcji matematycznej można wykorzystać do udowodnienia prawdziwości specjalnej hipotezy, tak aby została ona ogólnie przyjęta. Więc ta metoda jest używana jako dowód w rozumowaniu indukcyjnym.

Zastosowanie indukcji matematycznej

Zastosowanie indukcji matematycznej można znaleźć w różnych działach matematyki. Hipotezy ułożone w matematyce muszą zostać udowodnione, aby zostały ogólnie przyjęte. Hipoteza jest ogólnie ważna, jeśli okaże się prawdziwa dla wszystkich użytych wartości liczbowych. Oto przykład stwierdzenia, które można w ten sposób udowodnić.

Udowodnić, że suma serii liczb nieparzystych -n wynosi n2. Gdzie n jest liczbą naturalną.

Rozliczenie: P._n= 1 + 3 + 5 + 7 +… .. + (2n - 1) = n2 dotyczy każdego n € A

Podstawowy krok: dla n = 1 otrzymujemy, że P1 = 1 = 12 jest poprawne.

Krok indukcyjny: załóżmy, że n = k, P_k prawdziwa wartość. Okaże się, że dla n = k + 1, P_{(k + 1)} = (k + 1) 2 jest prawdą.

Zwróć uwagę na następujące kroki:

Dla n = k, to P_k = 1 + 3 + 5 + 7 +… + (2k - 1) = k2 jest prawdą.

A zatem dodając [2 (k + 1) -1] po obu stronach

P._{(k + 1)} = 1 + 2 + 3 +… (2k + 1) + [2 (k + 1) -1] = k2 + [2 (k + 1) - 1]

= k2 + 2k + 2 -

= k2 + 2k +

= (k + 1) 2 (sprawdzone)

Zasady indukcji matematycznej

Niech P (n) będzie instrukcją zawierającą liczby naturalne. Wyrażenie P (n) można udowodnić jako prawdziwe dla wszystkich liczb naturalnych n, wykonując kroki indukcji matematycznej.

Poniżej przedstawiono kroki w celu sprawdzenia przy użyciu tej metody:

1. Udowodnij, że P (1) jest prawdziwe lub P (n) jest prawdziwe dla n = 1.
2. Jeśli P (k) jest prawdziwe, to pokaż, że P (k + 1) jest prawdziwe dla każdej dodatniej liczby całkowitej k.

Jeśli kroki (1) i (2) są poprawne, można wywnioskować, że P (n) jest prawdziwe dla każdej liczby naturalnej n. Krok 1 nazywany jest krokiem podstawowym, a krok 2 krokiem indukcyjnym.