W architekturze istnieją obliczenia matematyczne dotyczące budowania budynków, z których jednym jest układ równań liniowych. Układ równań liniowych jest przydatny do wyznaczania współrzędnych punktów przecięcia. Prawidłowe współrzędne są niezbędne do stworzenia budynku pasującego do szkicu. W tym artykule omówimy układ równań liniowych z trzema zmiennymi (SPLTV).
Układ równań liniowych z trzema zmiennymi składa się z kilku równań liniowych z trzema zmiennymi. Ogólna postać równania liniowego z trzema zmiennymi jest następująca.
ax + by + cz = d
a, b, c i d są liczbami rzeczywistymi, ale wszystkie a, b i c nie mogą być równe 0. Równanie ma wiele rozwiązań. Jedno rozwiązanie można uzyskać, zrównując dowolną wartość z dwiema zmiennymi w celu określenia wartości trzeciej zmiennej.
Wartość (x, y, z) jest zbiorem rozwiązań dla układu równań liniowych z trzema zmiennymi, jeśli wartość (x, y, z) spełnia trzy równania w SPLTV. Zbiór rozliczeniowy SPLTV można określić na dwa sposoby, a mianowicie metodą substytucyjną i metodą eliminacji.
Metoda podstawienia
Metoda podstawienia to metoda rozwiązywania układów równań liniowych poprzez podstawianie wartości jednej zmiennej z jednego równania do drugiego. Metodę tę przeprowadza się do momentu uzyskania wszystkich wartości zmiennych w trójzmiennym układzie równań liniowych.
(Przeczytaj również: Układ równań liniowych z dwiema zmiennymi)
Metoda podstawiania jest łatwiejsza do zastosowania w SPLTV, który zawiera równania o współczynniku 0 lub 1. Oto kroki rozwiązywania metody podstawiania.
- Znajdź równanie, które ma proste formy. Równania w prostej formie mają współczynnik 1 lub 0.
- Wyraź jedną zmienną w postaci dwóch pozostałych zmiennych. Na przykład zmienna x jest wyrażona w postaci zmiennej y lub z.
- Zastąp wartości zmiennych otrzymane w drugim kroku innymi równaniami w SPLTV, tak aby otrzymać układ równań liniowych z dwiema zmiennymi (SPLDV).
- Określ rozliczenie SPLDV uzyskane w kroku trzecim.
- Określ wartości wszystkich nieznanych zmiennych.
Zróbmy następujący przykładowy problem. Wyznacz zbiór rozwiązań dla następującego układu równań liniowych z trzema zmiennymi.
x + y + z = -6… (1)
x - 2y + z = 3… (2)
-2x + y + z = 9… (3)
Najpierw możemy przekształcić równanie (1) na, z = -x - y - 6, na równanie (4). Następnie możemy podstawić równanie (4) do równania (2) w następujący sposób.
x - 2y + z = 3
x - 2y + (-x - y - 6) = 3
x - 2y - x - y - 6 = 3
-3y = 9
y = -3
Następnie możemy podstawić równanie (4) do równania (3) w następujący sposób.
-2x + y + (-x - y - 6) = 9
-2x + y - x - y - 6 = 9
-3x = 15
x = -5
Mamy wartości x = -5 iy = -3. Możemy podłączyć to do równania (4), aby uzyskać wartość z w następujący sposób.
z = -x - y - 6
z = - (- 5) - (-3) - 6
z = 5 + 3-6
z = 2
Mamy więc zbiór rozwiązań (x, y, z) = (-5, -3, 2)
Metoda eliminacji
Metoda eliminacji jest metodą rozwiązywania układów równań liniowych poprzez eliminację jednej ze zmiennych w dwóch równaniach. Ta metoda jest wykonywana, dopóki nie zostanie tylko jedna zmienna.
Metodę eliminacji można zastosować we wszystkich układach równań liniowych z trzema zmiennymi. Ale ta metoda wymaga długiego kroku, ponieważ każdy krok może wyeliminować tylko jedną zmienną. Do określenia zbioru rozliczeń SPLTV wymagane są co najmniej 3 metody eliminacji. Ta metoda jest łatwiejsza w połączeniu z metodą substytucyjną.
Kroki rozwiązywania problemów metodą eliminacji są następujące.
- Zwróć uwagę na trzy podobieństwa w SPLTV. Jeśli istnieją dwa równania z tym samym współczynnikiem dla tej samej zmiennej, odejmij lub dodaj dwa równania, aby zmienna miała współczynnik równy 0.
- Jeśli żadna ze zmiennych nie ma tego samego współczynnika, pomnóż oba równania przez liczbę, która sprawi, że współczynnik zmiennej w obu równaniach będzie taki sam. Odejmij lub dodaj dwa równania, aby zmienna miała współczynnik równy 0.
- Powtórz krok 2 dla innych par równań. Zmienna pominięta w tym kroku musi być taka sama jak zmienna pominięta w kroku 2.
- Po uzyskaniu dwóch nowych równań w poprzednim kroku, określ zestaw rozwiązań dla dwóch równań, korzystając z metody rozwiązania układu równań liniowych z dwiema zmiennymi (SPLDV).
- Zastąp wartość dwóch zmiennych otrzymanych w kroku 4 w jednym z równań SPLTV tak, aby otrzymać wartość trzeciej zmiennej.
Spróbujemy zastosować metodę eliminacji w poniższym problemie. Określ zestaw rozwiązań SPLTV!
2x + 3y - z = 20… (1)
3x + 2y + z = 20… (2)
X + 4y + 2z = 15… (3)
SPLTV można określić zbiór rozwiązań eliminując zmienną z. Najpierw zsumuj równania (1) i (2), aby otrzymać:
2x + 3y - z = 20
3x + 2y + z = 20 +
5x + 5y = 40
x + y = 8 ... (4)
Następnie pomnóż 2 w równaniu (2) i pomnóż 1 w równaniu (1), aby otrzymać:
3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40
x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 -
5x = 25
x = 5
Znając wartość x, zastąp ją równaniem (4) w następujący sposób.
x + y = 8
5 + y = 8
y = 3
Zastąp wartości x i y w równaniu (2) w następujący sposób.
3x + 2y + z = 20
3 (5) + 2 (3) + z = 20
15 + 6 + z = 20
z = -
Tak więc zbiór rozwiązań SPLTV (x, y, z) wynosi (5, 3, -1).
