Układ trzech równań liniowych zmiennej i metody ich rozwiązywania

W architekturze istnieją obliczenia matematyczne dotyczące budowania budynków, z których jednym jest układ równań liniowych. Układ równań liniowych jest przydatny do wyznaczania współrzędnych punktów przecięcia. Prawidłowe współrzędne są niezbędne do stworzenia budynku pasującego do szkicu. W tym artykule omówimy układ równań liniowych z trzema zmiennymi (SPLTV).

Układ równań liniowych z trzema zmiennymi składa się z kilku równań liniowych z trzema zmiennymi. Ogólna postać równania liniowego z trzema zmiennymi jest następująca.

ax + by + cz = d

a, b, c i d są liczbami rzeczywistymi, ale wszystkie a, b i c nie mogą być równe 0. Równanie ma wiele rozwiązań. Jedno rozwiązanie można uzyskać, zrównując dowolną wartość z dwiema zmiennymi w celu określenia wartości trzeciej zmiennej.

Wartość (x, y, z) jest zbiorem rozwiązań dla układu równań liniowych z trzema zmiennymi, jeśli wartość (x, y, z) spełnia trzy równania w SPLTV. Zbiór rozliczeniowy SPLTV można określić na dwa sposoby, a mianowicie metodą substytucyjną i metodą eliminacji.

Metoda podstawienia

Metoda podstawienia to metoda rozwiązywania układów równań liniowych poprzez podstawianie wartości jednej zmiennej z jednego równania do drugiego. Metodę tę przeprowadza się do momentu uzyskania wszystkich wartości zmiennych w trójzmiennym układzie równań liniowych.

(Przeczytaj również: Układ równań liniowych z dwiema zmiennymi)

Metoda podstawiania jest łatwiejsza do zastosowania w SPLTV, który zawiera równania o współczynniku 0 lub 1. Oto kroki rozwiązywania metody podstawiania.

  1. Znajdź równanie, które ma proste formy. Równania w prostej formie mają współczynnik 1 lub 0.
  2. Wyraź jedną zmienną w postaci dwóch pozostałych zmiennych. Na przykład zmienna x jest wyrażona w postaci zmiennej y lub z.
  3. Zastąp wartości zmiennych otrzymane w drugim kroku innymi równaniami w SPLTV, tak aby otrzymać układ równań liniowych z dwiema zmiennymi (SPLDV).
  4. Określ rozliczenie SPLDV uzyskane w kroku trzecim.
  5. Określ wartości wszystkich nieznanych zmiennych.

Zróbmy następujący przykładowy problem. Wyznacz zbiór rozwiązań dla następującego układu równań liniowych z trzema zmiennymi.

x + y + z = -6… (1)

x - 2y + z = 3… (2)

-2x + y + z = 9… (3)

Najpierw możemy przekształcić równanie (1) na, z = -x - y - 6, na równanie (4). Następnie możemy podstawić równanie (4) do równania (2) w następujący sposób.

x - 2y + z = 3

x - 2y + (-x - y - 6) = 3

x - 2y - x - y - 6 = 3

-3y = 9

y = -3

Następnie możemy podstawić równanie (4) do równania (3) w następujący sposób.

-2x + y + (-x - y - 6) = 9

-2x + y - x - y - 6 = 9

-3x = 15

x = -5

Mamy wartości x = -5 iy = -3. Możemy podłączyć to do równania (4), aby uzyskać wartość z w następujący sposób.

z = -x - y - 6

z = - (- 5) - (-3) - 6

z = 5 + 3-6

z = 2

Mamy więc zbiór rozwiązań (x, y, z) = (-5, -3, 2)

Metoda eliminacji

Metoda eliminacji jest metodą rozwiązywania układów równań liniowych poprzez eliminację jednej ze zmiennych w dwóch równaniach. Ta metoda jest wykonywana, dopóki nie zostanie tylko jedna zmienna.

Metodę eliminacji można zastosować we wszystkich układach równań liniowych z trzema zmiennymi. Ale ta metoda wymaga długiego kroku, ponieważ każdy krok może wyeliminować tylko jedną zmienną. Do określenia zbioru rozliczeń SPLTV wymagane są co najmniej 3 metody eliminacji. Ta metoda jest łatwiejsza w połączeniu z metodą substytucyjną.

Kroki rozwiązywania problemów metodą eliminacji są następujące.

  1. Zwróć uwagę na trzy podobieństwa w SPLTV. Jeśli istnieją dwa równania z tym samym współczynnikiem dla tej samej zmiennej, odejmij lub dodaj dwa równania, aby zmienna miała współczynnik równy 0.
  2. Jeśli żadna ze zmiennych nie ma tego samego współczynnika, pomnóż oba równania przez liczbę, która sprawi, że współczynnik zmiennej w obu równaniach będzie taki sam. Odejmij lub dodaj dwa równania, aby zmienna miała współczynnik równy 0.
  3. Powtórz krok 2 dla innych par równań. Zmienna pominięta w tym kroku musi być taka sama jak zmienna pominięta w kroku 2.
  4. Po uzyskaniu dwóch nowych równań w poprzednim kroku, określ zestaw rozwiązań dla dwóch równań, korzystając z metody rozwiązania układu równań liniowych z dwiema zmiennymi (SPLDV).
  5. Zastąp wartość dwóch zmiennych otrzymanych w kroku 4 w jednym z równań SPLTV tak, aby otrzymać wartość trzeciej zmiennej.

Spróbujemy zastosować metodę eliminacji w poniższym problemie. Określ zestaw rozwiązań SPLTV!

2x + 3y - z = 20… (1)

3x + 2y + z = 20… (2)

X + 4y + 2z = 15… (3)

SPLTV można określić zbiór rozwiązań eliminując zmienną z. Najpierw zsumuj równania (1) i (2), aby otrzymać:

2x + 3y - z = 20

3x + 2y + z = 20 +

5x + 5y = 40

x + y = 8 ... (4)

Następnie pomnóż 2 w równaniu (2) i pomnóż 1 w równaniu (1), aby otrzymać:

3x + 2y + z = 20 | x2 6x + 4y + 2z = 40

x + 4y + 2z = 15 | x1 x + 4y + 2z = 15 -

5x = 25

x = 5

Znając wartość x, zastąp ją równaniem (4) w następujący sposób.

x + y = 8

5 + y = 8

y = 3

Zastąp wartości x i y w równaniu (2) w następujący sposób.

3x + 2y + z = 20

3 (5) + 2 (3) + z = 20

15 + 6 + z = 20

z = -

Tak więc zbiór rozwiązań SPLTV (x, y, z) wynosi (5, 3, -1).

Najnowsze posty